Расчет поля плоской пластины
$$E_{\perp }=\frac{\varsigma }{2\varepsilon _{0}\cdot \varepsilon }$$
Выполним расчёт Поля плоской пластины бесконечных размеров заряженной зарядом с постоянной плотностью.
В основу положим известный закон Кулона для взаимодействия двух точечных зарядов.
Пусть в одной точке пространства у нас расположен точечный заряд Q, а в другой на расстоянии от него R расположен заряд q.
На этот пробный заряд, соответственно формуле, действует сила F, равная
$$\vec{F}=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\cdot \frac{Q\cdot q}{R^{2}}\cdot \vec{e_{r}}$$
\(\varepsilon _{0}\)- диэлектрическая проницаемость вакуума
\(\vec{e_{r}}\)- единичный вектор напряженности направленный по линии заряда
Если два заряда помещены не в вакуум, а в среду то в формулу добавляется относительная диэлектрическая проницаемость Эпсилон \(\varepsilon\), которая отличает проводящие свойства вещества от вакуума
$$\vec{F}=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}\cdot \varepsilon }\cdot \frac{Q\cdot q}{R^{2}}\cdot \vec{e_{r}}$$
В этой формуле можно выделить часть не зависящую от пробного заряда
$$\vec{F}=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}\cdot \varepsilon }\cdot \frac{Q}{R^{2}}\cdot \vec{e_{r}}$$
обозначим эту часть буквой \(E\). Она будет носить название напряженности электрического поля. И как видно из ее определения, она не зависит от величины пробного заряда помещенного в точку. Однозначно определяется исходным зарядом \(Q\) и расстоянием до точки \(R\), то есть геометрией пространства.
В таком случае, силу Кулона можно записать как:
$$\vec{F}=\vec{E}\cdot q$$
Такая формула действует для любого точечного заряда. электричество обладает свойством суперпозиции. если у нас есть несколько зарядов Q1 и Q2, то каждый из них взаимодействует с точечным зарядом силами F1 и F2. Эти силы складываются по правилу сложения векторов.
$$\vec{F_{12}}=\vec{F_{1}}+\vec{F_{2}}=(\vec{E_{1}}+\vec{E_{2}})\cdot q$$
Этот факт называется принципом суперпозицией электрического поля, и будет использован для расчетов сложной системы взаимодействия зарядов, а именно зарядов распределенных на плоскости.
Постановка задачи:
Имеется бесконечная плоскость с распределенной плотностью зарядов Сигма \(\varsigma\). Сигма численно равна величине заряда на единицу площади.
Выделим на площади некую площадку \(dS\)
Тогда заряд \(dQ\) на этой площадке будет равен Сигма умноженная на \(dS\)
$$dQ=\varsigma \cdot dS$$
Будем считать что плоскость равномерно заряжена и \(\varsigma\) не зависит от координат.
Рассчитаем поле всей плоскости в точке \(A\) на удалении \(a\) от нее.
Возьмем для примера небольшую площадку на удаление b от центра O исследуемой плоскости:
$$\vec{E(A)}=?$$
Рассчитаем поля в точке А зная расстояние от пластины и поверхностное распределение заряда Сигма.
Предположим, что вышеуказанная площадка \(dS\) будет располагаться на расстоянии \(b\) от точки \(O\) на плоскости пластины. Обладая зарядом \(dQ\) эта площадка создает поле \(dE\) в точке \(А\) направленное под углом \(\alpha \).
По закону Кулона оно равно
$$\vec{dE}=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}\cdot \varepsilon }\cdot \frac{dQ}{R^{2}}\cdot \vec{e_{r}}$$
Очевидно, что любой точке b будет соответствовать точка b’ с площадкой dS’ равноудалённые от точки O, которые в точке А будут создавать поле dE’ равное по величине полю dE, но направленное под углом \(2\pi -\alpha \) .
При сложении полей составляющие их векторов параллельные к плоскости пластины взаимно компенсируются, и в расчет включаются только составляющие перпендикулярные к плоскости пластины \(dE_{\perp }=dE\cdot\cos \alpha \)
Ровно такие же составляющие вектора поля буду создавать все точки находящиеся на расстоянии b от точки O.
Берем окружность радиуса b на плоскости. Площадки dS создают кольцо. Определяем для этой окружности оси x и у.
Рассмотрим элемент окружности расположенный под углом \(\phi\) к оси x.
Сегмент кольца образованный осью x и элементом окружности под углом Фи характеризуется величиной \(d\phi\).
При малости db и \(d\phi\) участок dS можно считать квадратным.
$$dS = \underbrace{b\cdot d\varphi} \cdot db$$
Заряд dQ на этой площадке будет равен \(dQ = \zeta \cdot dS\)
Полное поле пластины можно рассчитать путем интегрирования полей всех колец по b от нуля до бесконечности.
$$E_{\perp }= \int_{0}^{\infty }db\cdot \int_{0}^{2\pi }d\phi =\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi }\varsigma \cdot b\cdot d\phi \cdot db \cdot \frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}\cdot \varepsilon }\cdot \frac{\cos \alpha }{b^{2}+a^{2}}$$
$$E_{\perp }=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi }\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}\cdot \varepsilon }\cdot \frac{\varsigma \cdot a\cdot \tan \alpha\cdot d\phi \cdot a\cdot \frac{d\alpha }{\cos ^{2}\alpha } }{\frac{a^{2}}{\cos ^{2}\alpha }}\cdot \cos \alpha $$
$$E_{\perp }=\frac{\varsigma}{4\pi \varepsilon _{0}\cdot \varepsilon }\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{2\pi }d\phi \cdot \sin \alpha \cdot d\alpha{}=\frac{\varsigma \cdot 2\pi }{4\pi \varepsilon \cdot \varepsilon _{0}}\cdot \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin \alpha \cdot d\alpha = \frac{\varsigma}{2\varepsilon \cdot \varepsilon _{0}}\cdot \left ( -\cos \alpha \right )\bigg|^{\frac{\pi }{2}}_{o}$$
ИТОГО
$$E_{\perp }=\frac{\varsigma }{2\varepsilon _{0}\cdot \varepsilon }$$
