Упражнение 1.10.
Докажите, что при выполнении условия Rload = Rs мощность в нагрузке максимальна для данного сопротивления источника.
Rs- сопротивление источника;
Rload - сопротивление нагрузки.
Возможное решение:
Закон Ома для полной цепи
I = Us /(Rs + Rload)
Us = I⋅Rs + I⋅Rload /* ЭДС источника
Us⋅I = I2⋅Rs + I2⋅Rload /* Полная мощность цепи
Pload = I2⋅Rs = Us⋅I - I2⋅Rload /* Мощность рассеиваемая на нагрузке
\(P_{load}=\frac{U_{s}^{2}\cdot R_{load}}{\left (R _{s}+R_{load} \right )^{2}}\)
Найдем максимум функции. Возьмем производную по переменной Rload.
\(\frac{\partial P_{load}}{\partial R_{load}}=U _{s}^{2}\cdot \frac{\left ( R_{s}+R_{load}\right )^{2}-2R_{load}\cdot (R_{s}+R_{load})}{(R_{s}+R_{load})^{4}};\)
\(\frac{\partial P_{load}}{\partial R_{load}}=U _{s}^{2}\cdot \frac{R_{s}+R_{load}-2R{load}}{(R_{s}+R_{load})^{3}};\)
\(\frac{\partial P_{load}}{\partial R_{load}}=U _{s}^{2}\cdot \frac{R_{s}-R_{load}}{(R_{s}+R_{load})^{3}};\)
В точке максимума производная должна быть равна нулю.
т.е. \(P_{load} = max\), при условии, что \(\frac{\partial P_{load}}{\partial R_{load}}=0\)
Приравниваем выражение к нулю и определяем условие максимума:
\(U _{s}^{2}\cdot \frac{R_{s}+R_{load}-2R{load}}{(R_{s}+R_{load})^{3}}=0 ;\)
\(U_{s}\neq 0; (R_{s}+R_{load}\neq 0);\)
\(R_{s}-R_{load}=0;\)
\(R_{s}=R_{load};\)
