Операции с комплексными числами

0.0/5 оценка (0 голосов)

Материал:
Завершен
Обновлен: 12 мая 2020

Сравнение
Сложение
Вычитание
Умножение
Деление
Возведение в степень
Извлечение корня из комплексного числа

Описание

Сравнение

Два комплексных числа

$z_{1} = x_{1}+i\cdot y_{1}$ и $z_{2} = x_{2}+i\cdot y_{2}$ называются равными, если $x_{1} = x_{2}$, $у_{1} = у_{2}$ , т.е. равны их действительные и мнимые части.

Два комплексных числа в тригонометрической форме $z_{1} = r_{1} (\cos \varphi _{1} + i \sin \varphi _{1})$ и $z_{2} = r_{2} (\cos \varphi _{2} + i \sin \varphi _{2})$ называются равными, если $|z_{1}|=|z_{2}|, \text{ }\arg z_{1} = \arg z_{2} + 2 \pi n, \text{ }n \in Z$ . То есть, если равны их модули, а аргументы отличаются на число, кратное $2 \pi$ .

Аналогично для чисел в показательной форме $z_{1} = r_{1} \cdot e^{i \varphi _{1}},\text{ }z_{2} = r_{2} \cdot e^{i \varphi _{2}}$ : два комплексных числа равны, если $r_{1}=r_{2}, \text{ } \varphi _{1} = \varphi _{2} + 2 \pi n, \text{ }n \in Z$ .

Сложение

Сложение комплексных чисел осуществляется в алгебраической форме и определяется следующим образом: суммой чисел $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ и $z_{2}=x_{2}+iy_{2}$ является число

$z_{1}+z_{2} = x_{1}+iy_{1} + x_{2}+iy_{2} = (x_{1}+x_{2}) + i (y_{1}+y_{2})$

Т.е. выполняется непосредственное суммирование действительных и мнимых частей.

Вычитание

Вычитание комплексных чисел также осуществляется в алгебраической форме. Разность двух чисел $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ и $z_{2}=x_{2}+iy_{2}$ является число

$z_{1}-z_{2} = x_{1}+iy_{1} - (x_{2}+iy_{2}) = x_{1}-x_{2} + (i y_{1}-iy_{2}) = (x_{1}-x_{2}) + i (y_{1}-y_{2})$

Таким образом, чтобы вычесть из одного числа другое, выполняется непосредственное вычитание действительных и мнимых частей.

Умножение

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ и $z_{2}=x_{2}+iy_{2}$ выполняется непосредственным произведением чисел в алгебраической форме, учитывая свойство мнимой единицы $i^{2}=-1$ :

$z_{1} \cdot z_{2} = (x_{1}+iy_{1}) \cdot (x_{2}+iy_{2}) = x_{1} \cdot x_{2} + i^{2} \cdot y_{1} \cdot y_{2} + (x_{1} \cdot iy_{2} + x_{2} \cdot iy_{1}) =$

$= (x_{1} \cdot x_{2} - y_{1} \cdot y_{2}) + i (x_{1} \cdot y_{2} + x_{2} \cdot y_{1})$

Для произведения комплексных чисел в тригонометрической форме верно равенство:

$z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot r_{2} (\cos ( \varphi _{1} + \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} + \varphi _{2}))$

Для произведения комплексных чисел в показательной форме выполняется следующее равенство:

$z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot e^{i \varphi _{1}} \cdot r_{2} \cdot e^{i \varphi _{2}} = r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i \varphi _{1} + i \varphi _{2}} = r_{1} \cdot r_{2} \cdot e^{i ( \varphi _{1} + \varphi _{2})}$

Деление

Частное комплексных чисел в алгебраической форме $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ и $z_{2}=x_{2}+iy_{2}$ находится путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное к знаменателю число:

$\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}} = \frac{(x_{1}+iy_{1})(x_{2}-iy_{2})}{(x_{2}+iy_{2})(x_{2}-iy_{2})}=\frac{x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} + i \frac{x_{2} \cdot y_{1} - x_{1} \cdot y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}$

Частное комплексных чисел в тригонометрической форме выполняется по формуле:

$z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\cos ( \varphi _{1} - \varphi _{2}) + i \sin ( \varphi _{1} - \varphi _{2}))$

Частное комплексных чисел в показательной форме выполняется по формуле:

$z_{1} \div z_{2} = \frac{r_{1} \cdot e^{i \varphi _{1}}}{r_{2} \cdot e^{i \varphi _{2}}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i \varphi _{1} - i \varphi _{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot e^{i ( \varphi _{1} - \varphi _{2})}$

Возведение в степень

Для возведения в степень комплексных чисел в тригонометрической форме верна формула Муавра:

$z^{k} = r^{k} (\cos k \varphi + i \sin k \varphi),\text{ } \forall k \in N$

В показательной форме комплексные числа возводятся в степень по следующей формуле:

$z^{k} = \left( r e^{i \varphi} \right)^{k} = r^{k} e^{i k \varphi}, \text{ } k \in Z$

Извлечение корня из комплексного числа

Для извлечения корня из комплексного числа применяют аналогичным образом формулу Муавра (если число не равно нулю):

$z^{\frac{1}{k}} = \left( r (\cos (\varphi + 2\pi n) + i \sin ( \varphi + 2\pi n) ) \right)^{\frac{1}{k}} =$

$= r^{\frac{1}{k}} \left( \cos \frac{\varphi + 2\pi n}{k} + i \sin \frac{\varphi + 2\pi n}{k} \right), \text{ } \forall k >1 , \text{ } \forall n \in N , \text{ } n < k$

Сравнение

Сложение

Вычитание

Умножение

Деление

Возведение в степень

Извлечение корня из комплексного числа

URLs

Похожие статьи

Делители 1

Срезы строк

Нижний регистр